Definición (Semiespacio).
Sea el conjunto $$ \mathcal{H}\coloneqq \left\{ \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}\colon a_{1}x_{1}+ \cdots+ a_{n}x_{n}\geq b \right\} $$ donde $a=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ y $b\in\mathbb{R}$ son fijos, es llamado semiespacio.Proposición.
El semiespacio $\mathcal{H}$ es un conjunto convexo.Demostración.
Sea $ \mathcal{H}\coloneqq \left\{ x\in\mathbb{R}^{n}\colon\langle x,a\rangle\geq b \right\} $ un semiespacio. Para cualesquiera $x,y\in\mathcal{H}$ se cumple: $$ \tag{1} \langle x,a\rangle\geq b $$ $$ \tag{2} \langle y,a\rangle\geq b $$ Sumando $\alpha\times\left(1\right)$ y $\left(1-\alpha\right)\times\left(2\right)$ obtenemos: $$ \begin{aligned} \lambda\left\langle x,a\right\rangle+ \left(1-\lambda\right)\langle y,a\rangle & \geq \lambda b+ \left(1-\lambda\right)b \\ \left\langle\lambda x+\left(1-\lambda\right)y, a\right\rangle & \geq b \end{aligned} $$ $\therefore\lambda x+\left(1-\lambda\right)y\in\mathcal{H}$, es decir, el semiespacio $\mathcal{H}$ es un conjunto convexo.Definición (Hiperplano).
Sea el conjunto $$ \mathcal{P}\coloneqq \left\{ \left(x_{1},\ldots,x_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}\colon a_{1}x_{1}+ \cdots+ a_{n}x_{n}= b \right\} $$ donde $a=\left(a_{1},\ldots,a_{n}\right)\in\mathbb{R}^{n}$ y $b\in\mathbb{R}$ son fijos, es llamado hiperplano.Proposición.
El hiperplano $\mathcal{P}$ es un conjunto convexo.Demostración.
Sean $\mathcal{H}_{1}$ y $\mathcal{H}_{2}$ los siguientes conjuntos convexos $$ \begin{aligned} \mathcal{H}_{1}\coloneqq & \left\{x\in\mathbb{R}^{n}\colon\langle a,x\rangle\geq b\right\} \\ \mathcal{H}_{2}\coloneqq & \left\{x\in\mathbb{R}^{n}\colon\langle a,x\rangle\leq b\right\} \\ \mathcal{H}_{2}\coloneqq & \left\{x\in\mathbb{R}^{n}\colon\langle -a,x\rangle\geq -b\right\} \end{aligned} $$ Pero, $\mathcal{P}=\mathcal{H}_{1}\cap\mathcal{H}_{2}$ es la intersección de dos conjuntos convexos, por lo que se sigue que $\mathcal{P}$ es un conjunto convexo.Teorema.
Sea ${\left\{C_{i}\right\}}_{i\in I}$ una familia de conjuntos convexos. Entonces $\bigcap_{i\in I}C_{i}$ es un conjunto convexo.Demostración.
Sea $x,y\in\bigcap_{i\in I}C_{i}$. Es decir, para cualesquiera $x,y\in C_{i},\forall i\in I$, donde los $C_{i}$ son conjuntos convexos, entonces $$ \begin{aligned} \forall\lambda\in\left[0,1\right], \forall i\in I & \colon\color{blue} \lambda x+\left(1-\lambda\right)y\in C_{i} \\ \forall\lambda\in\left[0,1\right], \forall i\in I & \colon\color{blue} \lambda x+\left(1-\lambda\right)y\in\bigcap_{i\in I}C_{i}. \end{aligned} $$ Así, $\bigcap_{i\in I}C_{i}$ es un conjunto convexo.Definición (Cápsula convexa).
Sea $S\subset\mathbb{R}^{n}$. El conjunto $$ \operatorname{co}\left(S\right)\coloneqq \left\{ x\in\mathbb{R}^{n}\colon x\text{ es una combinación convexa}. \right\} $$ es llamada cápsula convexa de $S$.Si $R$ es un conjunto convexo y $S_{2}\subset\mathbb{R}$, entonces
$\operatorname{co}\left(S_{2}\right)\subset\mathbb{R}$.
Teorema.
Si $S_{1}\subset S_{2}$, entonces $ \operatorname{co}\left(S_{1}\right)\subset \operatorname{co}\left(S_{2}\right) $.Demostración.
Por hipótesis, $S_{1}\subset S_{2}\subset\operatorname{co}\left(S_{2}\right)$, donde $\operatorname{co}\left(S_{2}\right)$ es el "menor" conjunto convexo que contiene a $S_{2}$. Sea $x\in\operatorname{co}\left(S_{1}\right)$, entonces si $p\in\mathbb{N}$ $$ x= \sum_{j=1}^{p} \lambda_{j}x_{j},\quad \lambda_{j}\in\left[0,1\right],\quad \sum_{j=1}^{p}\lambda_{j}= 1. $$Definición (Cono).
$K\subset\mathbb{R}^{n}$ es un cono si $\forall x\in K\colon\lambda x\in K,\lambda\gt0$.Definición (Conjunto acotado).
Sea $A$ un subconjunto de $\mathbb{R}^{n}$. $A$ es acotado si $$ \left\|x\right\|\le M,\quad \forall x\in A. $$Proposición.
Demostración.
Sea $K$ un cono y como $K\neq\left\{0\right\},\exists x_{0}\in K$ tal que $\left\|x_{0}\right\|\neq0$. Sea $\lambda=\frac{2M}{\left\|x_{0}\right\|}$. Como $x_{0}\in K$, entonces $\lambda x_{0}\in K$, luego $$ \left\|\lambda x_{0}\right\|= \left|\lambda\right| \left\|x_{0}\right\|= \frac{2M}{\cancel{\left\|x_{0}\right\|}} \cancel{\left\|x_{0}\right\|}= 2M\le M.\quad \left(\Rightarrow\Leftarrow\right) $$Teorema (Cono convexo).
Sea $K$ un cono, entonces $$ K\text{ es convexo}\iff K+ K\subset K. $$Demostración.
$\left(\Leftarrow\right)$ Sea $x,y\in K$. Afirmo que $$ \forall\lambda\in\left[0,1\right]\colon \lambda x+\left(1-\lambda\right)y\in K. $$ En efecto, si $$ \begin{aligned} \lambda & = 0\colon 0\cdot\lambda+ \left(1-0\right)\cdot y= y\in K. \\ \lambda & = 1\colon 1\cdot x+ \left(1-1\right)\cdot x= x\in K. \\ \lambda & \gt 0\colon \underbrace{\lambda x}_{\in K}+ \underbrace{\left(1-\lambda\right)y}_{\in K}\in K. \end{aligned} $$ Por lo tanto, $K$ es un conjunto convexo.$\left(\Rightarrow\right)$ Sea $K$ un conjunto convexo con $z=x+y\in K+K,\forall x,y\in K$. Además, $z$ se puede escribir como $$ z= C \left( \lambda_{1}x+ \lambda_{2}y \right) $$ donde $C=2>0$, ${\lambda}_{i=1,2}=\frac{1}{2}\geq0$, $\sum_{i=1}^{2}\lambda_{i}=1$. Así, $z\in K$.