Recordemos, si $C\subset\mathbb{R}^{n}$ es no vacío.
Definición (Interior de un conjunto $C$).
El interior de $C$, denotado por $\operatorname{int}\left(C\right)$, es $$ \operatorname{int}\left(C\right)= \bigcap_{\mathclap{\underset{V\text{ abierto}}{V\subset C}}} V. $$Definición (Conjunto abierto).
Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^{n}$ es abierto en $\mathbb{R}^{n}$, si $\forall x\in V\,\exists r=r\left(x\right)\gt0$ tal que $B\left(x,r\right)\subset V$ $$ B\left(x,r\right)\coloneqq \left\{ y\in\mathbb{R}^{n}\colon \left\|y-x\right\|\lt r \right\}. $$Ejemplo.
En $\mathbb{R}^{2}$, el conjunto $$ C= \left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}\colon 0\leq x\leq1,y=0 \right\} $$ tiene interior vacío.Definición (Interior relativo).
Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$ no vacío. El interior relativo de $C$, denotado por $\operatorname{ri}\left(C\right)$, es $$ \operatorname{ri} \left(C\right)= \bigcup_{ \substack{W\subset C\\ W\subset\mathcal{F}} } W $$ donde $$ \mathcal{F}\coloneqq \left\{ W= \left[V\cap\operatorname{aff}\left(C\right)\right]\subset C\colon V\text{ es abierto de }\mathbb{R}^{n} \right\}. $$Observación.
Sean $C_{1}\subset C_{2}$ ambos de $\mathbb{R}^{n}$. Entonces1. $ \operatorname{int} \left(C_{1}\right)\subset \operatorname{int} \left(C_{2}\right) $.
2. $ \operatorname{ri} \left(C_{1}\right) \overset{??}{=} \operatorname{ri} \left(C_{2}\right) $.
3. Si $ \operatorname{aff} \left(C_{1}\right)= \operatorname{aff} \left(C_{2}\right) $, entonces $ \operatorname{ri} \left(C_{1}\right)\subset \operatorname{ri} \left(C_{2}\right) $.
4. Preserva la desigualdad.
Ejemplo.
Sea $C=\left\{a\right\}$, donde $a\in\mathbb{R}^{n}$. Luego, el $\operatorname{aff}\left(C\right)=\left\{a\right\}$ y el $\operatorname{ri}\left(C\right)=C$.Ejemplo.
Sean $C=\left\{a,b\right\}$ con $a\neq b$. En $\mathbb{R}^{n}$, el $\operatorname{ri}\left(C\right)=\emptyset$.Observación.
Sea $C$ un conjunto convexo no vacío. Para $x\in C$ y $z\in\operatorname{ri}\left(C\right)$, existe $y\in\operatorname{ri}\left(C\right)$ tal que $$ z= \alpha y+ \left(1-\alpha\right) x\quad \text{ para } \alpha\in\left]0,1\right[. $$Demostración.
Sea $z\in\operatorname{ri}\left(C\right)$, entonces $z\in W=\left[V\cap\operatorname{aff}\left(C\right)\right]\subset C$. $z\in V$, esto es, $\exists\,r\gt0$ tal que $B\left(z,r\right)\subset V$.Afirmación:
$y\in W$.
Observación.
Sea $f\colon\mathbb{R}^{m}\to\mathbb{R}^{n}$ una función continua y $V$ un conjunto abierto de $\mathbb{R}^{m}$, entonces $f\left(V\right)$ es abierto de $\mathbb{R}^{n}$.Observación.
Sea $$ \begin{aligned} f\colon\mathbb{R}^{m} & \to\mathbb{R}^{m} \\ x & \mapsto f\left(x\right)=Ax+b \end{aligned} $$ biyectiva donde $A\in\mathbb{R}^{m\times m}$ y $b\times\mathbb{R}^{m}$. Si $V$ es abierto en $\mathbb{R}^{m}$, entonces $f\left(V\right)$ también es un abierto en $\mathbb{R}^{n}$.Teorema.
Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$ convexo no vacío, entonces el $\operatorname{ri}\left(C\right)$ es no vacío.Ejemplo.
Sea.