Principio de Buen Orden

La clase anterior se probó que el Principio de Inducción Matemática implica el Principio de buen orden.

Si $X\subset\mathbb{N}$ tal que

1. $1\in X$.
2. Si $x\in X$, entonces $S\left(x\right)\in X$, entonces $X=\mathbb{N}$.

Si $\emptyset=B\subset\mathbb{Z}_{\geq 1}=\mathbb{N}$, entonces $\exists\,b_0\in B$ tal que $\forall b\in B: b_0\leq b$.

Observación

\[ \forall n\geq6\colon 2^{n}\geq {\left(n+1\right)}^{2} \]

\[ \begin{aligned} n&=1\colon 2\geq 2^{2}&\\ n&=2\colon 4\geq 3^{2}&\\ n&=3\colon 8\geq 4^{2}&\\ n&=4\colon 16\geq 5^{2}&\\ n&=5\colon 32\geq 6^{2}&\\ n&=6\colon 64\geq 7^{2}\checkmark&\\ n&=7\colon 128\geq 8^{2}\checkmark&\\ \end{aligned} \]

Principio de inducción "corrido"

Sea $p\left(n\right)$ una función proposicional predicable sobre $\mathbb{N}$ y sea $n_{0}\in\mathbb{N}$.

Si

1. $p\left(n_{0}\right)$ es verdad.
2. $p\left(k+1\right)$ es verdad, siempre que $p\left(k\right)$ lo sea para $k\geq n_{0}$.

Entonces, $p\left(n\right)$ es verdad $\forall n\geq n_{0}$.

Prueba

Basta aplicar el Principio de Inducción Matemática para