Definición (Espacios vectoriales con producto interno).
Sea $\left(V,\mathbb{F}\right)$ un $\mathbb{F}$-espacio vectorial con $\mathbb{F}=\mathbb{C}\vee\mathbb{R}$. Un producto interno sobre $V$ es una función $$ \begin{aligned} \langle,\rangle\colon V\times V & \rightarrow\mathbb{F} \\ \left(u,v\right) & \mapsto\langle u,v\rangle \\ \end{aligned} $$ que cumple:1. $\forall u,v,w\in V$ y $\forall r,s\in\mathbb{F}$ se tiene $ \left\langle ru+su,w\right\rangle= r\left\langle u,w\right\rangle+ s\left\langle v,w\right\rangle $.
2. $ \left\langle u,v\right\rangle= \overline{\left\langle v,u\right\rangle} $.
3. $\left\langle u,u\right\rangle\gt0$ si $u\neq\vec{0}$.
Entonces, $\left(V,\langle,\rangle\right)$ es un espacio con producto interno.
Consecuencia.
1. Si $\langle u,u\rangle=0$, entonces $u=\vec{0}$.2. Sea $u,v,w\in V$ y $r,s\in\mathbb{F}$, entonces $ \left\langle w,ru+sv\right\rangle= \overline{\left\langle ru+sv,w\right\rangle} $.
Ejemplo.
Sea $\mathbb{F}=\mathbb{R}\vee\mathbb{C}$ y $V=\mathbb{F}^{n}$ un $\mathbb{F}$-espacio vectorial. Sean los vectores $u=\left(u_{1},\ldots,u_{n}\right)$ y $v=\left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)$ de $\mathbb{F}^{n}$. El producto interno, si $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ $$ \left\langle u,v\right\rangle= \sum_{i=1}^{n} u_{i} \overline{v}_{i}. $$ Si $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, entonces $$ \left\langle u,v\right\rangle= \sum_{i=1}^{n} u_{i}v_{i}. $$Ejemplo.
Sea $ \mathbb{F}^{n\times n}= \left\{ \left[a_{ij}\right]_{n\times n}\mid a_{ij}\in\mathbb{F} \right\} $ el espacio de matrices cuadradas definida y $\mathbb{F}=\mathbb{R}\vee\mathbb{C}$, se define el producto interno de $ A= \left[a_{ij}\right], B= \left[b_{ij}\right] \in\mathbb{F}^{n\times n} $ como $$ \left\langle A, B\right\rangle= \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \overline{b}_{ij}. $$ Se puede verificar que $$ \begin{aligned} \langle A,B\rangle & = \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \overline{b}_{ij} \\ & = \operatorname{Tr} \left(AB^{\ast}\right) \\ & = \operatorname{Tr} \left(B^\ast A\right). \end{aligned} $$ En efecto, $B^{\ast}=\left[c_{ij}\right]=\left[\overline{b}_{ji}\right]$. $$ \begin{aligned} {\left(AB^{\ast}\right)}_{ij} & = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}c_{kj}= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \overline{b}_{kj} \\ \operatorname{Tr} \left(AB^{\ast}\right) & = \sum_{i=1}^{n} \left(AB^{\ast}\right)_{ii} \\ & = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \overline{b}_{ik}= \sum_{i,j=1}^{n} a_{ij} \overline{b}_{ij}. \end{aligned} $$ Sean $A,C,B\in V$ y $r,s\in\mathbb{F}$. $$ \begin{aligned} \left\langle rA+sC,B\right\rangle & = \operatorname{Tr} \left(\left(rA+sC\right)B^\ast\right) \\ & = \operatorname{Tr} \left(rAB^{\ast}+sCB^{\ast}\right) \\ & = r\operatorname{Tr} \left(AB^{\ast}\right)+ s\operatorname{Tr} \left(CB^{\ast}\right) \\ & = r\left\langle A,B\right\rangle+ s\left\langle C,B\right\rangle. \end{aligned} $$ Se cumple que $$ \left\langle A,B\right\rangle= \overline{\left\langle B,A\right\rangle}. $$ Ya tenemos: $$ \begin{aligned} \left\langle A,B\right\rangle & = \operatorname{Tr} \left(AB^{\ast}\right) \\ & = \overline{\overline{\sum_{i,j=1}^{n}a_{ij}\overline{b}_{ij}}} \\ & = \overline{\sum_{i,j=1}^{n}b_{ij}\overline{a_{ij}}} \\ & = \overline{\left\langle B,A\right\rangle}. \end{aligned} $$ $$ \left\langle A,A\right\rangle= \operatorname{Tr} \left(AA^{\ast}\right)= \sum_{i,j=1}^{n}a_{ij} \overline{a}_{ij}= \sum_{i,j=1}{\left|a_{ij}\right|}^{2}. $$ Si $A\neq0$, entonces $\exists\,a_{ij}\neq0$, es decir, $\left|a_{ij}\right|\gt0$, por lo que se concluye que $\left\langle A,A\right\rangle\gt0$. A partir de un producto interno se obtiene otro producto interno.Caso general
Sea $T\colon V\rightarrow W$ una transformación lineal donde $V$ y $W$ son $\mathbb{F}$-espacios vectoriales. Sea $\mathbb{F}=\mathbb{C}\vee\mathbb{R}$. Además, $T$ es inyectiva (no singular).
Consideremos que $W$ es una espacio vectorial con producto interno ${\left\langle,\right\rangle}_{W}$. Se puede definir un producto interno sobre $V$:
Para cualesquiera $u,v\in V$
\[ {\left\langle u,v\right\rangle}_{V}= {\left\langle Tu,Tv\right\rangle}_{W}. \]
${\left\langle,\right\rangle}_{V}$ cumple los axiomas $1$, $2$ y $3$.
- Sea $u,v,\ell\in V$ y $r,s\in\mathbb{F}$
\[ \begin{aligned} {\left\langle ru+sv,\ell\right\rangle}_{V} & = {\left\langle T\left(ru+sv\right),T\ell\right\rangle}_{W} \\ & = {\left\langle rT\left(u\right)+sT\left(v\right),T\ell\right\rangle}_{W} \\ & = r{\left\langle T\left(u\right),T\ell\right\rangle}_{W}+ s{\left\langle T\left(v\right),T\ell\right\rangle}_{W} \\ & = r{\left\langle u,\ell\right\rangle}_{V}+ s{\left\langle v,\ell\right\rangle}_{V}. \end{aligned} \]
- Sean \[ \begin{aligned} {\left\langle u,v\right\rangle}_{V} & ={\left\langle Tu,Tv\right\rangle}_{W} \\ & ={\left\langle Tw,Tu\right\rangle}_{W} \\ & =\overline{\left\langle w,u\right\rangle}_{V}. \end{aligned} \]
Si $u\neq\vec{0}$
\[ {\left\langle u,v\right\rangle}_{V}= {\left\langle Tu,Tv\right\rangle}_{V}. \]
Aplicación.
Sea $V$ un $\mathbb{F}$-espacio vectorial con $\dim_{\mathbb{F}}V=n$ y $W=\mathbb{F}^{n}$. Sea $\left\{e_{1},\ldots,e_{n}\right\}$ la base canónica de $\mathbb{F}^{n}$. $$ \begin{aligned} e_{1} & =\left(1,0,\ldots,0\right) \\ \vdots\; & =\quad\quad\vdots \\ e_{n} & =\left(0,0,\ldots,1\right) \end{aligned} $$ y $\beta=\left\{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\right\}$ una base de $V$. Si $$ \begin{aligned} T\colon V & \rightarrow\mathbb{F}^{n} \\ \alpha_{i} & \mapsto T\alpha_{i}=e_{i}. \end{aligned} $$ Para cualquier $v\in V$, se tiene $v=\sum_{i=1}^{n}v_{i}\alpha_{i}$. $$ \begin{aligned} T\left(v\right) & = T\left(\sum_{i=1}^{n}v_{i}\alpha_{i}\right) \\ & = \sum_{i=1}^{n}v_{i}T\alpha_{i}= \sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}. \end{aligned} $$ $T$ es lineal. Sea $Tv=\vec{0}\in\mathbb{F}^{n}$, entonces $$ v= \left(v_{1},\ldots,v_{n}\right)= \sum_{i=1}^{n}v_{i}e_{i}= \vec{0}= \left(0,\ldots,0\right). $$ El $\operatorname{Nu}\left(T\right)=\left\{0\right\}$. Es decir, $T$ es inyectiva. En $\mathbb{F}^{n}$ se define el producto interno canónico para dos vectores $$ f= \left(f_{1},\ldots,f_{n}\right) \text{ y } g= \left(g_{1},\ldots,g_{n}\right) $$ en $\mathbb{F}^{n}$ como: $$ {\left\langle f,g\right\rangle}_{\mathbb{F}^{n}}= \sum_{i=1}^{n} f_{i} \overline{g}_{i}. $$ De esto se induce un producto interno en $V$. Para cualesquiera $u,v\in V$: $$ {\left\langle u,v\right\rangle}_{V}= {\left\langle Tu,Tv\right\rangle}_{\mathbb{F}^{n}}. $$