¡Bienvenido al curso! En los albores de la fascinante rama de las matemáticas llamada Optimización fue estudiado por muchos años como un solo bloque, posteriormente se decidió estudiar este cuerpo iniciando por el caso convexo para luego extrapolar ideas en el caso no convexo.
Hay funciones convexas triviales que no son funciones diferenciables. Por lo que debemos extender la función derivada.
En el caso convexo, la interpretación es bastante geométrica.
En el caso no convexo estamos limitados en la parte geométrica.
Entonces la misión de los matemáticos ha sido reescribir la propiedad en el caso no convexo.
Por lo que podemos decir que el análisis convexo sirve para entender los casos matemáticos no convexos.
Definición (Conjunto convexo).
Supongamos que existe un conjunto no vacío $C$, contenido en el espacio vectorial $\mathbb{R}^{n}$. Diremos que $C$ es convexo si para cualesquiera $x,y\in C$, entonces el segmento $\left[x,y\right]\subset C$. En otras palabras, $C$ es convexo si para todo $x,y\in C$ se cumple $$ C\ni \lambda x+ \left(1-\lambda\right)y\quad \forall\, 0\le\lambda\le1. $$Observación.
$C$ no depende de la dimensión (finita o infinita), pues lo único que necesitamos es que el espacio que contiene a $C$, debe ser un espacio vectorial. La propiedad de convexidad es una propiedad unidmensional.Definición (Combinación convexa).
Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$ un elemento $x\in\mathbb{R}^{n}$ es una combinación convexa de $C$ sii existen ${\left\{x_{i}\right\}}_{i=1}^{p}$ $\left(p\in\mathbb{N}\right)$ en $C$ y ${\left\{t_{i}\right\}}_{i=1}^{p}$ en $\mathbb{R}_{+}$ con $\sum_{i=1}^{p}t_{i}=1$ tal que $x=\sum_{i=1}^{p}t_{i}x_{i}$.Observación.
El conjunto $\mathbb{R}_{+}$ denota los números reales positivos.Ejemplo (Conjuntos convexos).
Sea $C=\left\{x\in\mathbb{R}^{n}\colon\left\|x\right\|\le\gamma\right\}$ donde $\gamma>0$ y $\left\|\cdot\right\|$ es una norma. Sea $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ y $\gamma>0$. El conjunto $ C= \left\{ x\in\mathbb{R}^{n}\colon \left\langle Ax,x\right\rangle\le \gamma \right\} $ es convexo si y solo si $A$ es semi definida positiva (sdp): $$ \left\langle Ad,d\right\rangle\ge0\quad \forall d\in\mathbb{R}^{n}. $$Lema.
Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$. El conjunto de todas las combinaciones lineales convexas de $C$ es convexo.Demostración.
Sean las combinaciones convexas $x,y$ de $C$, entonces $$ x= \sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}x_{i},\quad y= \sum_{i=1}^{q} \beta_{i}y_{i}. $$ Sea $0\le\lambda\le1$, $$ \lambda x+ \left(1-\lambda\right)= \lambda\sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}x_{i}+ \left(1-\lambda\right) \sum_{i=1}^{q}\beta_{i}y_{i} $$ es combinación convexa de $C$.Proposición.
Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$. Las siguientes proposiciones son equivalentes:1. $C$ es un conjunto convexo.
2. $C$ contiene a todas las combinaciones convexas de $C$.
Demostración.
($2\Rightarrow 1$) Sean $x,y\in C$ y $0\le\lambda\le1$, entonces $$ \lambda x+ \left(1-\lambda\right) y\in C. $$ ($1\Rightarrow 2$) Sea $x=\sum_{i=1}^{p}t_{i}x_{i}$ con ${\left\{x_{i}\right\}}_{i=1}^{p}\subset C$ y ${\left\{t_{i}\right\}}_{i=1}^{p}\subset\mathbb{R}_{+}$ con $\sum_{i=1}^{p}t_{i}=1$. Ahora $$ x= \sum_{i=1}^{p-1} t_{i}x_{i}+ t_{p}x_{p}= \left( \sum_{i=1}^{p-1} t_{i} \right) \left( \sum_{i=1}^{p} \frac{t_{i}}{\sum_{i=1}^{p-1}t_{i}}x_{i} \right)+ t_{p}x_{p}. $$ Si $p=1$ o $p=2$, ya está. Asumamos por inducción que se cumple para $p=1$. Mostraremos que se cumple para $p$.Proposición.
Si ${\left\{C_{i}\right\}}_{i\in I}$ es una colección de conjuntos convexos de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $$ \bigcap_{i\in J}C_{i}\quad \text{también es convexo}. $$Demostración.
Definición (Cápsula convexa).
La cápsula convexa de un conjunto $S\subset\mathbb{R}^{n}$, denotado por $\operatorname{co}\left(S\right)$, es $$ \bigcap_{\mathclap{\underset{C\text{ convexo}}{C\supset S}}} C. $$Observación.
$\operatorname{co}\left(S\right)$ es el conjunto convexo más pequeño que contiene a $S$.Resumen de la primera clase
\[ \forall x\in C, \forall y\in C\text{ y } \forall t\in\left[0,1\right]\colon tx+ \left(1-t\right)y \in C. \]