Definición (Cápsula convexa).
Sea $S\subset\mathbb{R}^{n}$, su cápsula convexa se define $$ \operatorname{co} \left(S\right)= \bigcap_{\mathclap{\underset{C\text{ convexo}}{C\supset S}}}C. $$ Si $S_{1}\subset S_{2}$, entonces $ \operatorname{co}\left(S_{1}\right)\subset \operatorname{co}\left(S_{2}\right) $.Proposición.
$\operatorname{co}\left(S\right)$ es el conjunto de todas las combinaciones convexas de $S$.Demostración.
Sea $D$ es el conjunto de todas las combinaciones convexas de $S$. $D$ es un conjunto convexo y $D\supset S$, entonces $\operatorname{co}\left(S\right)\subset D$. Sea $x\in D$, entonces $$ x= \sum_{i=1}^{p}\lambda_{i}x_{i}, \text{ con } x_{i}\in S_{p},\lambda_{i}\gt0 \text{ y } \sum_{i=1}^p\lambda_i=1. $$ $$ S\subset \operatorname{co} \left(S\right). $$ Si $X$ es combinación convexa de $\operatorname{co}\left(S\right)$, entonces $x\in\operatorname{co}\left(S\right)$.Definición (Cono en $\mathbb{R}^n$).
Un cono en $\mathbb{R}^{n}$ es un conjunto $K\subset\mathbb{R}^{n}$ que satisface la siguiente proposición $$ \forall x\in K \text{ y } \forall\lambda\gt0: \lambda x\in K $$ se cumple.Ejemplo.
$$ \begin{aligned} K & =\left\{A\in\mathbb{R}^{m\times m}\colon A\text{ es semidefinida positiva}.\right\} \\ K & =\left\{A\in\mathbb{R}^{m\times m}\colon A\text{ es definida positiva}.\right\} \\ K & =\left\{\left(x,y\right)\in\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+\colon xy\gt0\right\} \\ \end{aligned} $$Observación.
Cuando $0\in K$, decimos que $K$ es un cono con punta, caso contrario será llamado un cono sin punta.Proposición.
Sea $K$ un cono. Este es convexo si y solo si $K+K\subset K$. Si ${\left\{K_{i}\right\}}_{i\in I}$ es una familia de conos de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\bigcap_{i\in I}K_{i}$ también es un cono.Demostración.
En efecto, asumamos que $K$ es un conjunto convexo. Sean $x,y\in K$, entonces $ x+y= 2\left( \underbrace{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y}_{\in K} \right)\in K $. Sean $x,y\in K$ y $\lambda\gt0$: $$ \underbrace{\lambda x}_{\in K}+ \underbrace{\left(1-\lambda\right)y}_{\in K}\in K. $$Definición (Cápsula cónica).
Sea $S\subset\mathbb{R}^{n}$. La cápsula cónica de $S$ denotada por $\operatorname{cono}\left(S\right)$ es $$ \bigcap_{\mathclap{\underset{K\text{ convexo}}{K\supset S}}} K. $$ $K$ es el menor cono conteniendo a $S$.Proposición.
Sea $S\subset\mathbb{R}^{n}$. Se cumplen:1. $ \operatorname{cono} \left(S\right)= \left\{\lambda x\colon x\in S,\lambda\gt0\right\} $.
2. Si $S$ es un conjunto convexo, entonces $\operatorname{cono}\left(S\right)$ también es convexo.
Definición (Subespacio afín).
$H\subset\mathbb{R}^{n}$ es un subespacio afín. Si $H-a$ es un subespacio vectorial para algún $a\in\mathbb{R}^{n}$.- Es una generalización de un espacio vectorial.
- Es independiente del $a$ que se tome.
- En $\mathbb{R}^{2}$, los subespacios afines que tenemos son los puntos que no pasan por el origen, las rectas que no pasan por el origen y $\mathbb{R}^{2}$.
Observación.
$\forall a,b\in H\colon H-a=H-b$.Ejemplo.
Sea $a\in\mathbb{R}^{n}$. $\left\{a\right\}$ es un subespacio afín de $\mathbb{R}^{n}$.Proposición.
Si ${\left\{H_{i}\right\}}_{i\in I}$ es una familia de subespacios afines de $\mathbb{R}^{n}$, entonces $$ \bigcap_{\mathclap{i\in I}} H_{i} $$ también es un subespacio afín.Definición (Subespacio afín generado).
El subespacio afín generado de $S\subset\mathbb{R}^{n}$ es $$ \bigcap_{\mathclap{\underset{H\text{ afín}}{H\supset S}}} H $$ y será denotado por $\operatorname{aff}\left(S\right)$.Ejemplo.
Si $ S\coloneqq \left\{A\in\mathbb{R}^{n\times n}\colon A\text{ es definida positiva}\right\} $, entonces $\operatorname{aff}\left(S\right)$.Proposición.
Sea $S\subset\mathbb{R}^{n}$ y $a\in S$ se cumple1. $ \operatorname{aff}\left(S\right)= \left\{ a+ \sum_{i=1}^{p}t_{i} \left(b_{i}-a\right)\colon p\in\mathbb{N}, \left\{t_{i}\right\}_{i=1}^{p}\subset\mathbb{R}, \left\{b_i\right\}_{i=1}^{p} \right\} $.
2. Si $S_{1}\subset S_{2}$, entonces $ \operatorname{aff} \left(S_{1}\right)\subset \operatorname{aff}\left(S_{2}\right) $.
3. $ \operatorname{aff} \left(S\right)= \operatorname{aff} \left(\operatorname{aff}\left(S\right)\right) $, pero es diferente de $ \operatorname{aff} \left(\operatorname{cono}\left(S\right)\right) $.
Observación.
$$ \operatorname{co} \left(S\right)= \left\{ x= \sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}x_{i}\colon p\in\mathbb{N}, \left\{t_{i}\right\}_{i=1}^{p}\subset \mathbb{R}_{+}, \sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}= 1\right\}. $$Teorema.
Sea $S\subset\mathbb{R}^{n}$ y $x_{0}\in S$. Si $x\in\operatorname{co}\left(S\right)$, entonces existe $p\in\mathbb{N}$, $\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{p}\subset S$, $\left\{t_{i}\right\}_{i=1}^{h}\subset\mathbb{R}_{+}$ tal que ${\left\{\left(x_{i}-x_{0}\right)\right\}}_{i=1}^{p}$ es linealmente independiente. $$ x= x_{0}+ \sum_{i=1}^{p} t_{i}\left(x_{1}-x_{0}\right) \text{ con } \sum_{i=1}^{p} t_{i}\le1. $$ $$ \left( 1- \sum_{i=1}^{p} t_{i}= t_{0}\ge0 \right) $$ $$ x= t_{0}x_{0}+ \sum_{i=1}^{p} t_{i}x_{i}. $$El que controla es la cantidad de vectores linealmente independientes.
Demostración.
Siendo $x\in\operatorname{co}\left(S\right)$, existen $p\in\mathbb{N}$, ${\left\{x_{i}\right\}}_{p}t_{i}=1$ y $x=\sum_{i=0}^{p}t_{i}x_{i}$. $$ = x_{0}+ \sum_{i=1}^{p} t_{i}\left(x_{1}-x_{0}\right). $$ Asumamos que $t_{i}\gt0$, $x_{1}\neq x_{0}$ cuando $i\in\left\{1,\ldots,p\right\}$. Asuma que $\left\{\left(x_{i}-x_{0}\right)\right\}$ no es linealmente independiente. $$ 0= \sum_{i=1}^{p} \frac{\lambda_i}{\alpha} \left(x_{i}-x_{0}\right)\quad \left(\alpha\gt0\right) $$ Podemos asumir $\sum_{i=1}^{p}\lambda_{i}\ge0$, luego $\max_{i=1,\ldots,p}\lambda_{i}\gt0$ $$ \begin{aligned} 0 & = \sum_{i=1}^{p} \frac{\lambda_{i}}{\alpha}\left(x_{i}-x_{0}\right) \\ x & = x_{0}+ \sum_{i=1}^{p}t_{i} \left(x_{i}-x_{0}\right) \\ x & = x_{0}+ \sum_{i=1}^{p} \left(t_{i}-\frac{\lambda_{i}}{\alpha}\right) \left(x_{i}-x_{0}\right) \end{aligned} $$ Si $ t_{i}= \frac{\lambda_{i}}{\alpha}\ge0\quad \forall i=1,\ldots,p\iff \alpha\ge\frac{\lambda_{i}}{t_{i}} \forall i=1,\ldots,p $. Luego $\alpha=\max\left\{\frac{\lambda_{i}}{t_{i}}\colon i=1,\ldots,p\right\}$. Reordenando los índices (si es necesario) de tal manera que $\alpha=\frac{\lambda_{p}}{t_{p}}\gt0$. $$ \sum_{i=1}^{p} \left( t_{i}- \frac{\lambda_{i}}{\alpha} \right)= \sum_{i=1}^{p} t_{i}- \frac{1}{\alpha} \sum_{i=1}^{p} \lambda_{i}\ge0. $$Corolario.
Sea $\emptyset\neq S\subset\mathbb{R}^{n}$. $\operatorname{co}\left(S\right)$ es el conjunto de todas las combinaciones convexas de a lo más $n+1$ elementos de $S$.Corolario.
Si $S\subset\mathbb{R}^n$ es un conjunto compacto, entonces $\operatorname{co}\left(S\right)$ también es un conjunto compacto.Demostración.
Sea $ T\coloneqq \left\{ \left(t_{0},\ldots,t_{n}\right) \in\mathbb{R}^{n}\colon t_{i}\ge0, \sum_{i=0}^{p}t_{i}= 1 \right\} $.Definición (Conjunto abierto).
Un conjunto $V\subset\mathbb{R}^{n}$ es abierto sii para todo $x\in V$ existe $r=r\left(x\right)>0$ tal que $B\left(x,r\right)\subset V$. $$ B\left(x,r\right)\coloneqq \left\{ y\in\mathbb{R}^{n}\colon \left\|y-x\right\|\lt r \right\} $$Ejemplo.
En $\mathbb{R}^{d}$ con $d=1$. El conjunto $V=\left[x,y\right)$ no es abierto. Pero, el conjunto $\operatorname{int}\left(V\right)=\left(x,y\right)$ es abierto.Ejemplo.
Sea $ E\coloneqq \left\{ A\in\mathbb{R}^{n\times n}\colon A\text{ es simétrica}. \right\} $. $$ V\coloneqq \left\{ A\in E\colon A\text{ es definida positiva}. \right\} $$ es un conjunto abierto.Definición (Interior de un conjunto).
Sea $C\subset\mathbb{R}^{n}$. El interior de $C$, denotado por $\operatorname{int}\left(C\right)$ es el intervalo más grande contenido en $C$, esto es, $$ \operatorname{int} \left(C\right)= \bigcup_{\mathclap{\underset{V\text{ abierto}}{V\subset C}}} V_{i}. $$Observación.
${\left\{V_{i}\right\}}_{i\in I}$ es una familia de conjuntos abiertos en $\mathbb{R}^{n}$, entonces $\bigcup_{i\in I}V_{i}$ también es un conjunto abierto.Demostración.
En efecto, sea $x\in\bigcup_{i\in I}V_{i}$, entonces $\exists\,x\in I$ tal que $x\in V_{i}$ y por lo tanto existe $r\gt0$ tal que $$ B\left(x,r\right)\subset V_{i}\subset \bigcup_{i\in I}V_{i}. $$Definición (Conjunto cerrado).
$C\subset\mathbb{R}^{n}$ es cerrado sii $\mathbb{R}^{n}\setminus C$ es abierto.Proposición.
Son equivalentes:1. $C$ es cerrado.
2. Para toda sucesión ${\left\{x_{k}\right\}}_{k\in\mathbb{N}}$ en $C$ convergente, su límite está en $C$.
Demostración.
Sea ${\left\{x_{k}\right\}}_{k\in\mathbb{N}}$ una sucesión en $C$ convergente con $\lim\limits_{k\to\infty}x_k=\overline{x}$. Por demostrar que $\overline{x}\in C$. Asuma que $\overline{x}\notin C$. Esto es, $\exists r\gt0$ tal que