Definición (Espacio vectorial con producto interno).
Sea $\left(V,\mathbb{C}\right)$ o $\left(V,\mathbb{R}\right)$. Si $\left\langle,\right\rangle\colon V\times V\rightarrow\mathbb{F}$, con $\mathbb{F}=\mathbb{C}\vee\mathbb{R}$, es un producto interno. Tenemos $\left(V,\mathbb{F},\left\langle,\right\rangle\right)$ el espacio vectorial con producto interno.Observación.
Entonces $$ \left\langle u,v\right\rangle= \mathfrak{Re}\left\langle u,v\right\rangle+ \imath\mathfrak{Im}\left\langle u,v\right\rangle. $$ $$ \begin{aligned} z & =x+\imath y\in\mathbb{R} \\ \imath z & =-y+\imath x \\ -\imath z & =y-\imath x \\ \mathfrak{Im}z & =y-\mathfrak{Re}\left(-\imath z\right) \end{aligned} $$ entonces $$ \begin{aligned} \left\langle u,v\right\rangle & = \mathfrak{Re}\left\langle u,v\right\rangle+ i\mathfrak{Re} \left( \underbrace{-i\left\langle u,v\right\rangle}_{\left\langle u,v\right\rangle} \right) \\ \left\langle u,v\right\rangle & = \mathfrak{Re}\left\langle u,v\right\rangle+ i\mathfrak{Re} \left( \left\langle u,iv\right\rangle \right) \\ \end{aligned} $$ el producto interno está determinado por su parte real.Definición (Formas cuadrática o función cuadrática).
Sea $\left(V,\mathbb{F},\left\langle,\right\rangle\right)$ un espacio con producto interno. Una función cuadrática sobre $V$ es $$ \begin{aligned} q\colon V & \to\mathbb{F} \\ \alpha & \mapsto q\left(\alpha\right)= \left\langle\alpha,\alpha\right\rangle= {\left\|\alpha\right\|}^{2}. \end{aligned} $$Tenemos:
\[ \begin{aligned} q\left(\alpha\pm\beta\right) & = \left\langle\alpha\pm\beta,\alpha\pm\beta\right\rangle \\ & = q\left(\alpha\right)\pm \left\langle\alpha,\beta\right\rangle+ \left\langle\beta,\alpha\right\rangle+ q\left(\beta\right) \\ & = {\left\|\alpha\right\|}^{2}\pm 2\mathfrak{Re} \left\langle\alpha,\beta\right\rangle+ {\left\|\beta\right\|}^{2} \end{aligned} \]
Si $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ se tiene:
\[ \left\langle\alpha,\beta\right\rangle= \frac{1}{4}q\left(\alpha+\beta\right)- \frac{1}{4}q\left(\alpha-\beta\right)+ \frac{1}{4}q\left(\alpha+\beta\right)- \frac{1}{4}q\left(\alpha-\beta\right). \]
son las identidades de polarización.
Definición (Matriz de un producto interno de dimensión).
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